Température d'un moteur

D'après sujet de bac STI2D, Nouvelle-Calédonie, septembre 2023.

La température du moteur (exprimée en \(^{\circ} \text{C}\)) est modélisée par une fonction \(\theta\) dépendant du temps (exprimé en secondes) écoulé depuis le démarrage du moteur.
On admet que la fonction \(\theta\), définie et dérivable sur \(\lbrack 0~ ; +\infty \lbrack\), est une solution sur cet intervalle de l’équation différentielle suivante : \(y^{\prime}=-\dfrac{1}{180}y+\dfrac{4}{9}\).

1. Déterminer les solutions sur \(\lbrack 0~ ; +\infty \lbrack\) de cette équation différentielle.
À \(t = 0\), la température du moteur est de \(20\; ^\circ \text{C}\).
2. Montrer alors que la fonction \(\theta\) est définie sur \(\lbrack 0 ~; +\infty \lbrack\) par \(\theta(t)=80-60\text{e}^{-\frac{1}{180}t}\).
3. Résoudre sur \(\lbrack 0~ ; +\infty \lbrack\) l’équation \(\theta(t) = 79\).
Le changement de carburant ne doit pas modifier la montée en température du moteur. La température optimale de fonctionnement du moteur est de \(79\; ^\circ \text{C}\). Cette température doit être atteinte en moins de vingt minutes.
4. Indiquer si cette condition est respectée.